1.
i
Определите наименьшее натуральное число, кратное 2, которое при делении на 15 с остатком дает неполное частное, равное 3.
1) 44
2) 50
3) 48
4) 18
5) 46
РЕШУ ЦТ — математика
Вариант № 42519
2.
i
Укажите верное равенство:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
3.
i
Среди точек
выберите ту, которая принадлежит графику функции, изображённому на рисунке:
1) B
2) O
3) M
4) C
5) D
представляет собой прямую, проходящую через точки вида 
Таким образом, единственное подходящее решение — точка С.4.
i
Если 15% некоторого числа равны 33, то 20% этого числа равны:
1) 44
2) 46
3) 55
4) 56
5) 66
где x — неизвестное число.
5.
i
Если 
то 
равно:
1) 13
2) −17
3) 17
4) 21
5) −19
6.
i
Найдите значение выражения 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
7.
i
Решите неравенство 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
8.
i
Вычислите 
1) 37
2) 60
3) 0,6
4) 0,37
5) 3,7
9.
i
От пристани одновременно отправляются по течению реки катер(I) и против течения реки моторная лодка (II). На рисунке приведены графики их движения. Определите скорость течения реки (в км/ч), если катер и моторная лодка имеют одинаковые собственные скорости.
1) 2,6 км/ч
2) 5,2 км/ч
3) 2,4 км/ч
4) 4,6 км/ч
5) 4,8 км/ч
часа, а моторная лодка за 0,5 часа. Зная то, что их собственные скорости одинаковые, составим уравнение: 
10.
i
Результат упрощения выражения 
при −1 < x < 1 имеет вид:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
11.
i
Найдите значение выражения 
1) 0,1
2) 
3) −0,1
4) −23
5) 23
12.
i
Отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Точка M делит отрезок AB в отношении 3 : 2, считая от точки А. Из точек А, В, M проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A1, B1, M1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если 
1) 
2) 
3) 
4) 6
5) 5
Известно, что 
Тогда 
Из подобия треугольников имеем: 
13.
i
Прямая a, параллельная плоскости α, находится от нее на расстоянии 6. Через прямую a проведена плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b и образующая с ней угол 60°. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если A и B — такие точки прямой a, что AB = 4, а C и D — такие точки прямой b, что CD = 3.
1) 42
2) 
3) 
4) 10,5
5) 
поскольку 
Проведем из точки D высоту трапеции DN. Получили прямоугольный треугольник, в котором 
14.
i
Собственная скорость катера в 9 раз больше скорости течения реки. Расстояние по реке от пункта A до пункта B плот проплыл за время t1, а катер — за время t2. Тогда верна формула:
1) t1 = 10t2
2) t1 = 9t2
3) t1 = 9,5t2
4) t1 = 10,5t2
5) t1 = 11t2
15.
i
Сократите дробь 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
16.
i
Плоскость, удаленная от центра сферы на 8 см, пересекает ее по окружности длиной 12π см. Найдите площадь сферы.
1) 144π см2
2) 100π см2
3) 200π см2
4) 400π см2
5) 800π см2
откуда r = 6. Тогда по теореме Пифагора радиус сферы равен 
Для площади сферы имеем: 
17.
i
Через вершину A прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) проведен перпендикуляр AK к его плоскости. Найдите расстояние от точки K до прямой BC, если AK = 2, AB = 4, BC = 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Заметим, что AC является проекцией наклонной KC на плоскость ABC и AC
BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах KC
18.
i
Высоты остроугольного равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке O. Если высота AD = 15 и AO = 10, то длина стороны AC равна:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Поэтому:
19.
i
Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен ...
следовательно, 
Следовательно,
20.
i
Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения 
Тогда:
21.
i
В равнобедренную трапецию, площадь которой равна 
вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна 60°. Найдите периметр трапеции.
Сумма углов в равнобедренной трапеции, прилежащих к одной стороне равна 180°, откуда следует, что сумма углов, данная в условии — есть сумма углов при основании AD, которые равны. 
Поэтому из площади трапеции найдем x:
22.
i
Найдите сумму целых решений неравенства 
тогда получим:
Их сумма равна −6.23.
i
Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения 
24.
i
Найдите
где 
— абсциссы точек пересечения параболы и горизонтальной прямой (см.рис.).
На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, 
Кроме того, парабола касается оси Ox в точке (2;0), следовательно, уравнение параболы примет вид: 
Для того, чтобы найти a, подставим в уравнение параболы точку (1;-1), через которую данная парабола проходит: 
Таким образом, изображённая на графике парабола задается уравнением 
: 
откуда по теореме Виета 
25.
i
Функция y = f(x) определена на множестве действительных чисел 
является нечетной, периодической с периодом T = 10 и при 
задается формулой
Найдите произведение абсцисс точек пересечения прямой y = 12 и графика функции y = f(x) на промежутке [ −13; 7].
Данный интервал входит в промежуток, на котором необходимо найти произведение абсцисс. Найдем абсциссы точек пересечения полученной функции и прямой y = 12. 
26.
i
Найдите сумму корней уравнения
:
27.
i
Найдите сумму целых решений неравенства 
совпадает со знаком разности 
имеем:
корни знаменателя 
Поэтому: 
Целые решения — числа −2, 4, 5. Их сумма равна 7.28.
i
Из точки А проведены к окружности радиусом 
касательная AB (B — точка касания) и секущая, проходящая через центр окружности и пересекающая ее в точках D и C (AD < AC). Найдите площадь S треугольника ABC, если длина отрезка AC в 3 раза больше длины отрезка касательной. В ответ запишите значение выражения 5S.
Обозначим AB за x, тогда 
Тогда: 
при этом 
Получим: 
Тогда площадь треугольника ABC: 
29.
i
Найдите значение выражения 
: 
Тогда: 
тогда 
Тогда:
30.
i
Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 4 и на 6 дают в остатке 1, а при делении на 9 дают в остатке 4.
h — целое, поэтому 
h — целое, поэтому 
31.
i
Петя записал на доске два различных натуральных числа. Затем он их сложил, перемножил, вычел из большего записанного числа меньшее и разделил большее на меньшее. Сложив четыре полученных результата, Петя получил число 1521. Найдите все такие пары натуральных чисел. В ответ запишите их сумму.
что запрещено по условию.
32.
i
Основанием пирамиды SABCD является выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке O, АО = 9, ОС = 16, ВО = OD = 12. Вершина S пирамиды SABCD удалена на расстояние 
от каждой из прямых AB, BC, СD и AD. Через середину высоты пирамиды SABCD параллельно ее основанию проведена секущая плоскость, которая делит пирамиду на две части. Найдите значение выражения 10 · V, где V — объем большей из частей.
где p — полупериметр. Находим:
и 
следовательно, 
и 
от объема исходной пирамиды. Таким образом, 